题目
题型:不详难度:来源:
(1)如果f(x)是奇函数,过点(2,10)作y=f(x)图象的切线l,若这样的切线有三条,求实数b的取值范围;
(2)当-1≤x≤1时有-1≤f(x)≤1,求a,b,c的所有可能的取值.
答案
∴f(x)=4x3+bx,f′(x)=12x2+b.
设切点为P(t,4t3+bt),则切线l的方程为y-(4t3+bt)=(12t2+b)(x-t),
由于切线l过点(2,10),∴10-(4t3+bt)=(12t2+b)(2-t),整理得b=4t3-12t2+5,
令g(t)=4t3-12t2+5-b,则g′(t)=12t2-24t=12t(t-2),
∴g(t)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
要使切线l有三条,当且仅当g(t)=0有三个实数根,
g(t)=0有三个实数根,当且仅当g(0)>0,且g(2)<0,解得-11<b<5.
(2)由题意,当x=±1,±
1 |
2 |
-1≤4+a+b+c≤1,①
-1≤-4+a-b+c≤1,
即-1≤4-a+b-c≤1,②
-1≤
1 |
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a |
4 |
b |
2 |
-1≤-
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a |
4 |
b |
2 |
即-1≤
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a |
4 |
b |
2 |
①+②得-2≤8+2b≤2,从而b≤-3;
③+④得-2≤1+2b≤2,从而b≥-3,故b=-3.
代入①②③④得a+c=0,
a |
4 |
下面证明:f(x)=4x3-3x满足条件.
事实上,f′(x)=12x2-3=3(2x+1)(2x-1),所以f(x)在(-1,-
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
而f(-1)=-1,f(-
1 |
2 |
1 |
2 |
核心考点
试题【已知三次函数f(x)=4x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)(1)如果f(x)是奇函数,过点(2,10)作y=f(x)图象的切线l,若这样的切线有三条,求实】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
OA |
OB |
OC |
OA |
OB |
OC |
0 |
(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)若x>0,证明f(x)>
2x |
x+2 |
(Ⅲ)当
1 |
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1 |
e |
(Ⅰ)求b,c的值及f(x)的单调减区间;
(Ⅱ)设p>0,q>0,g(x)=f(x)+x2,求证:5g(
3p+2q |
5 |
1 |
2 |
(Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方,求a的取值范围.
1 |
2 |
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
A.当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值 |
B.当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值 |
C.当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值 |
D.当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值 |
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