题目

题型：重庆难度：来源：

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e^-x的单调区间．

答案

（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx+c得到f"（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f"（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=2a(2a+3)=4(a+

3

4

)2-

9

4

，
故当a=-

3

4

时，bc取得最小值-

9

4

．
此时有b=-

3

2

，c=

3

2

．
从而f(x)=-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

，f′(x)=-

3

2

x-

3

2

，g（x）=-f（x）e^-x=（

3

4

x²+

3

2

x-

3

2

）e^-x，
所以g′(x)=[f(x)-f′(x)e-x]=-

3

4

(x2-4)e-x
令g"（x）=0，解得x₁=-2，x₂=2．
当x∈（-∞，-2）时，g"（x）＜0，故g（x）在x∈（-∞，-2）上为减函数；
当x∈（-2，2）时，g"（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
当x∈（2，+∞）时，g"（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）．