设函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的单调区间、极值；（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=-

x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值；
（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．

答案

（1）f′（x）=-x²+4ax-3a²．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

解析

核心考点

试题【设函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的单调区间、极值；（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

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热门考点

（-∞，a）

（a，3a）

（3a，+∞）

f′（x）

f（x）

递减

a³+b

递增

递减

（0，a）

（a，3a）

f′（x）

f（x）

递减

a³+b

递增

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f"（x）-a（x-x₁）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，求函数g（x）在（x₁，x₂）内的最小值．（用a表示）

已知函数f(x)=

lna+lnx

在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为______．

设函数f（x）=ax²+2x+blnx在x=1和x=2时取得极值．（ln2≈0.7）
（1）求a、b的值；
（2）求函数f（x）在[

，2]上的最大值和最小值．

设f（x）=x³-kx（k＞0）．
（1）若f′（2）=0，求f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是单调函数，
（Ⅰ）求证：0＜k≤3；（Ⅱ）设x₀≥1，f（x₀）≥1，且满足f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

已知函数f（x）=

x2+(

a2+

a)lnx-2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=-

时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在导函数f′（x）的单调区间上也是单调的，求a的取值范围；
（Ⅲ）当0＜a＜

时，设g（x）=f（x）-（

a2+

a+1）lnx-（a+

）x²+（2a+1）x，且x₁，x₂是函数g（x）的极值点，证明：g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．