题目
题型:不详难度:来源:
(1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数,
(Ⅰ)求证:0<k≤3;(Ⅱ)设x0≥1,f(x0)≥1,且满足f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0.
答案
∵f′(2)=0,∴f′(2)=3×22-k=0,即k=12
则f(x)=x3-12x,f(2)=23-12×2=-16,
故f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y+16=0.
(2)证明:(Ⅰ)∵f′(x)=3x2-k(k>0)
又函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数,
则①若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是增函数,则在[1,+∞)上f′(x)≥0恒成立,
即在[1,+∞)上恒有3x2≥k,故k≤3,又由k>0,∴0<k≤3;
②若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是减函数,则在[1,+∞)上f′(x)≤0恒成立,
即在[1,+∞)上恒有3x2≤k,故k不存在;
综上,0<k≤3.
(Ⅱ)设f(x0)=m,则由f(f(x0))=x0
得到f(m)=x0,又f(x)=x3-kx(k>0)
∴
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即(x0-m)(x02+m2+x0m+1-k)=0
∵x0≥1,f(x0)≥1即m≥1,
∴x02+m2+x0m+1-k≥4-k,而0<k≤3,
∴x02+m2+x0m+1-k≥1>0,从而只有x0-m=0,即m=x0,
∴f(x0)=x0.
核心考点
试题【设f(x)=x3-kx(k>0).(1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(Ⅰ)当a=-
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(Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单调区间上也是单调的,求a的取值范围;
(Ⅲ) 当0<a<
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2x |
(1)证明:函数在[0,
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(2) 若x∈[0,a],求f(x)的最大最小值.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)当b>0时,求证:bb≥(
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(Ⅲ)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
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