题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=axlnx，g(x)=-

1

2

x2+(a+1)x，其中a∈R．
（1）令h(x)=

f(x)

x

-g(x)，试讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的e＜x1＜x2＜e2，总有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，试求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

答案

（1）∵h(x)=alnx+

1

2

x2-(a+1)x，（x＞0）．
∴h′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

．
①当a≤0时，f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；
②当0＜a＜1时，f（x）的递增区间为（0，a），（1，+∞），递减区间为（a，1）；
③当a=1时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；
④当a＞1时，f（x）的递增区间为（0，1），（a，+∞），递减区间为（1，a）．
（2）对任意的e＜x1＜x2＜e2，总有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）
令F(x)=f(x)-g(x)=axlnx+

1

2

x2-(a+1)x，
由题意得y=F（x）在区间（e，e²）上为增函数．
∴F"（x）=alnx+x-1≥0，对x∈（e，e²）恒成立，
所以a≥

1-x

lnx

对x∈（e，e²）恒成立，
令ϕ(x)=

1-x

lnx

，
则ϕ′(x)=

-lnx- 1-x x

(lnx)2

=

-xlnx+x-1

x(lnx)2

=

x(1-lnx)-1

x(lnx)2

＜0，
所以ϕ（x）在区间（e，e²）上单调递减，
所以ϕ（x）＜ϕ（e）=1-e，
所以a≥1-e． 
所以a≥1-e． …（10分）