题目
题型:宁波模拟难度:来源:
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)求证:n>m;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>-2,总存x0∈(-2,t),满足
f′(x0) |
ex0 |
2 |
3 |
答案
由f′(x)>0⇒x>1或x<0,
由f′(x)<0⇒0<x<1,
∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∵函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,
∴-2<t≤0,
(Ⅱ)证:因为函数f(x)在(-∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(-2)=13e-2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(-2),
从而当t>-2时,f(-2)<f(t),
即m<n,
(Ⅲ)证:因为
f′(x0) |
ex0 |
=x | 20 |
∴
f′(x0) |
ex0 |
2 |
3 |
即为x02-x0=
2 |
3 |
令g(x)=x2-x-
2 |
3 |
从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-
2 |
3 |
因为g(-2)=6-
2 |
3 |
2 |
3 |
g(t)=t(t-1)-
2 |
3 |
1 |
3 |
所以当t>4或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0,
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=-
4 |
3 |
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解,
当t=1时,g(x)=x2-x=0,
解得x=0或1,
所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x2-x-6=0,
所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足
f′(x0) |
ex0 |
2 |
3 |
且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0适合题意,
当1<t<4时,有两个x0适合题意.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
OC |
OQ |
OA |
AP |
OC |
(1)求点A、B的坐标;
(2)求动点P的轨迹方程,并判断轨迹的形状.
1 |
2 |
lgx+1 |
2 |
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>
x |
ex |
2 |
e |
A.-1≤m≤1 | B.-1<m≤1 | C.-1<m<1 | D.-1≤m<1 |
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