题目
题型:杭州二模难度:来源:
t |
x |
(Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式;
(Ⅱ)是否存在t,使得M、N与A(0,1)三点共线.若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数n,在区间[2,n+
64 |
n |
答案
∵f′(x)=1-
t |
x2 |
∴切线PM的方程为:y-(x1+
t |
x1 |
t |
x12 |
又∵切线PM过点P(1,0),∴有0-(x1+
t |
x1 |
t |
x12 |
即x12+2tx1-t=0,(1)
同理,由切线PN也过点P(1,0),得x22+2tx2-t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根,∴
|
(x1-x2)2+(x1+
|
=
[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
|
把(*)式代入,得|MN|=
20t2+20t |
因此,函数g(t)的表达式为g(t)=
20t2+20t |
(Ⅱ)当点M、N与A共线时,kMA=kNA,
∴
x1+
| ||
x1-0 |
x2+
| ||
x2-0 |
x12+t-x1 |
x12 |
x22+t-x2 |
x22 |
化简,得(x2-x1)[t(x2+x1)-x1x2]=0
∵x1≠x2,∴t(x2+x1)=x2x1.(3)
把(*)式代入(3),解得t=
1 |
2 |
∴存在t,使得点M、N与A三点共线,且t=
1 |
2 |
(Ⅲ)知g(t)在区间[2 , n+
64 |
n |
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+
64 |
n |
则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m•g(n+
64 |
n |
依题意,不等式m•g(2)<g(n+
64 |
n |
m
20•22+20•2 |
20(n+
|
即m<
|
∵n+
64 |
n |
|
|
|
∴m<
|
又当m=6时,存在a1=a2═am=2,am+1=16,对所有的n满足条件.
因此,m的最大值为6.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+tx(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N.(Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;
(2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数.
A.-7 | B.-1 | C.1 | D.7 |
A.1440 | B.-1440 | C.-2880 | D.2880 |
a |
b |
a |
b |
(I)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最大值和最小正周期;
(II)若f(x)=2f′(x),求
1+2sin2x |
cos2x-sinxcosx |
(Ⅰ)求I的长度(注:区间(a,β)的长度定义为β-α);
(Ⅱ)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.
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