题目

题型：成都一模难度：来源：

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，求实数b的取值范围．

答案

（1）因为f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，
所以x²+2bx+c=0的根为-1，1．
故-1+1=-2b⇒b=0；
（-1）×1=c⇒c=-1．
所以b=0，c=-1．
（2）因为f（1）=0，所以1+2b+c=0⇒c=-2b-1．
所以f（x）+x+b=0即为x²+（2b+1）x-b-1=0．
令g（x）=x²+（2b+1）x-b-1
∵g（x）=f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，如图示
∴

g(0)＜0 g(1)＞0 g(-3)＞0 g(-2)＜0

⇒

b＞-1 b＞-1 b＞ 1 5 b＜ 5 7

⇒

1

5

＜b＜

5

7

故实数b的取值范围是

1

5

＜b＜

5

7

．