题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，设S_n=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，T_n=a₁-a₂q+… +(-1)^n-1a_nq^n-1，q≠0，n∈N*，
(Ⅰ)若q=1，a₁=1，S₃=15，求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)若a₁=d且S₁，S₂，S₃成等比数列，求q的值；
(Ⅲ)若q≠±1，证明，n∈N*。

答案

解：(Ⅰ)由题设知，S₃=a₁+(a₁+d)q+(a₁+2d)q²，
将q=1，a₁=1，S₃=15代入上式，解得d=4，
所以，a_n=4n-3，n∈N*。
(Ⅱ)当a₁=d时，S₁=d，S₂=d+2dq，S₃=d+2dq+3dq²，
因为S₁，S₂，S₃成等比数列，所以S₂²=S₁S₃，
即(d+2dq)²=d(d+2dq+3dq²)，
注意到d≠0，整理得q²+2q=0，
因为q≠0，
解得q=-2。
(Ⅲ)证明：由题设知，
S_2n=a₁+a₂q+a₃q²+a₄q³+…+a_2nq^2n-1， ①
T_2n=a₁-a₂q+a₃q²-a₄q³+…-a_2nq^2n-1， ②
①式减去②式，得S_2n-T_2n=2(a₂q+a₄q³+…+a_2nq^2n-1)，
①式加上②式，得S_2n+T_2n=2(a₁+a₃q²+…+a_2n-1q^2n-2)，③
③式两边同乘q，得 q（S_2n+T_2n）=2（a₁q+a₃q³+…+a_2n-1q^2n-1），
所以，（1-q)S_2n-(1+q) T_2n=(S_2n-T_2n)-q(S_2n+T_2n)
=2d（q+q³+…+q^2n-1）
。