题目

题型：同步题难度：来源：

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，设S_n=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，T_n=a₁-a₂q+…+（-1）^n-1a_nq^n-1，q≠0，n∈N*，
(1)若q=1，a₁=1，S₃=15，求数列{a_n}的通项公式；
(2)若a₁=d，且S₁，S₂，S₃成等比数列，求q的值；
(3)若q≠±1，证明(1-q)S_2n-(1+q)T_2n=，n∈N*。

答案

解：(1)由题设，S₃=a₁+(a₁+d)q+(a₁+2d)q²，
将q=1，a₁=1，S₃=15代入解得d=4，
所以an=4n-3∈N*．
(2)当a₁=d，S₁=d，S₂=d+2dq，S₃=d+2dq+3dq²，
∵S₁，S₂，S₃成等比数列，
∴S₂²=S₁S₃，即(d+2dq)²=d(d+2dq+3dq²)，
注意到d≠0，整理得q=-2。
(3)由题设，可得b_n=q^n-1，则
，①
，②
①-②得，，
①+②得，，③
③式两边同乘以q，得，
∴。