题目

题型：月考题难度：来源：

已知数列{a_n}满足 ．
（I）求数列的前三项a₁，a₂，a₃；
（II）求证：数列 为等差数列；
（III）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

解：（I）由 a_n=2a_n﹣1+2ⁿ﹣1（n∈N+，且n≥2）得 a₄=2a₃+2⁴﹣1=81，得a₃=33，
同理，可得 a₂=13，a₁=5．
（II）∵a_n=2a_n﹣1+2ⁿ﹣1，
∴ ﹣ = ﹣ =1，
故数列 是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（III）由（II）可得  =2+（n﹣1）×1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ+1．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ+n，
记T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，
则有2T_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ +（n+1）2ⁿ⁺¹．
两式相减，
可得﹣T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ﹣（n+1）2ⁿ⁺¹=4+ ﹣（n+1）2ⁿ⁺¹=﹣n·2ⁿ⁺¹，
解得  T_n=n×2ⁿ⁺¹，故 S_n=T_n+n=n×2ⁿ⁺¹+n=n?（2ⁿ⁺¹+1 ）．