题目

题型：高考真题难度：来源：

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10。
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N*，证明：T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N*）。

答案

解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，S₄=8+6d，
由条件a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，
得方程组，解得，
故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ，n∈N*。
（2）由（1）得，T_n=2a_n+2²a_n-1+2³a_n-2+…+2ⁿa₁；  ①；
2T_n=2²a_n+2³a_n-1+…+2ⁿa₂+2ⁿ⁺¹a₁；  ②；
由②-①得，T_n=-2（3n-1）+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ+2ⁿ⁺²
=+2ⁿ⁺²-6n+2
=10×2ⁿ-6n-10；
而-2a_n+10b_n-12=-2（3n-1）+10×2ⁿ-12=10×2ⁿ-6n-10；
故T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N*）。