各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有______项． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有______项．

答案

设a₁，a₂…，a_n是公差为4的等差数列，
则a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，
即a12+

(a1+4)+[a1+4(n-1)]

•(n-1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=

（3-

2816

）＜0，8＜n₂=

2816

＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8．

核心考点

试题【各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有______项．】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知数列{a_n}满足a_n=n•2ⁿ，则其前n项和是（　　）

A．（n-1）2ⁿ⁺¹-2

B．（n-1）2ⁿ⁺¹+2

C．（n-1）2ⁿ-2

D．（n-1）2ⁿ+2

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已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N^*，定义b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ）若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0）．
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．

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已知数列{x_n}满足x_n+1=x_n-x_n-1（n≥2），x₁=a，x₂=b，S_n=x₁+x₂+…+x_n，则下面正确的是（　　）

A．x₁₀₀=-a，S₁₀₀=2b-a	B．x₁₀₀=-b，S₁₀₀=2b-a
C．x₁₀₀=-b，S₁₀₀=b-a	D．x₁₀₀=-a，S₁₀₀=b-a

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对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值．

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已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-3，则数列{a_n}的通项公式为______．

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