题目

题型：不详难度：来源：

对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值．

答案

（Ⅰ）如a_n=n²．（答案不惟一，结果应为a_n=An²+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意a_n+1-a_n=2ⁿ，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2=2ⁿ．（5分）
从面{a_n}是公比数为2的等比数列，
所以Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2.（7分）
（Ⅲ）由a_nb_nb_n+1=-21•2ⁿ及a_n-1b_n-1b_n=-21•2ⁿ，两式相除得

bn+1

bn-1

=

1

2

，
所以数列{b_2n-1}，{b_2n}分别是公比为

1

2

的等比数列
由b₄=-7得b₂=-14．
令n=1，由a₁b₁b₂=-21•2ⁿ得b₁=3•2⁶．
所以数列{b_n}的通项为bn=

3•26•( 1 2 ) n-1 2 (n≥1，且n是奇数) -14•( 1 2 ) n 2 -1(n≥2，且n是偶数)

（10分）
②记数列{b_n}前n项的积为T_n．
令|bnbn+1|＜1，得|-2|•(

1

2

)n-8|＜1，
即(

1

2

)n-1＜

1

21

，解得n≥13.
所以当n是奇数时，|b₁b₂|＞1，|b₃b₄|＞1，，|b₁₁b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅b₁₆|＜1，
从而|T₂|＜|T₄|＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞．
当n是偶数时，|b₂b₃|＞1，|b₄b₅|＞1，，|b₁₂b₁₃|＞1，|b₁₄b₁₅|＜1，|b₁₆b₁₇|＜1，
从而|T₁|＜|T₃|＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|．
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以当数列{b_n}前n项的积T_n最大时n=13．（14分）