题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ) 若bn=n+1,求a4;
(Ⅱ) 若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b2=b(ab≠0).
(ⅰ)当a=1,b=2时,求数列{bn}的前3n项和;
(ⅱ)当a=1时,求证:数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.
答案
令n=2,得到a3=a2+b2=3+3=6,
令n=4,得到a4=a3+b3=6+4=10;
(Ⅱ)(ⅰ)因为bn+1bn-1=bn(n≥2),
所以,对任意的n∈N*有bn+6=
bn+5 |
bn+4 |
1 |
bn+3 |
bn+1 |
bn+2 |
即数列{bn}各项的值重复出现,周期为6.(5分)
又数列{bn}的前6项分别为1,2,2,1,
1 |
2 |
1 |
2 |
设数列{bn}的前n项和为Sn,
则当n=2k(k∈N*)时,S3n=S6k=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)=7k,
当n=2k+1(k∈N*)时,S3n=S6k+3=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+b6k+1+b6k+2+b6k+3=7k+b1+b2+b3=7k+5,(7分)
所以,当n为偶数时,S3n=
7 |
2 |
7n+3 |
2 |
(ⅱ)证明:由(ⅰ)知:对任意的n∈N*有bn+6=bn,
又数列{bn}的前6项分别为1,b,b,1,
1 |
b |
1 |
b |
2 |
b |
设cn=a6n+i(n≥0),(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),
所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5+b6n+i+6=2b+
2 |
b |
所以,数列{a6n+i}均为以2b+
2 |
b |
因为b>0时,2b+
2 |
b |
2 |
b |
所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列,其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次,即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.(14分)
核心考点
试题【已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an.(Ⅰ) 若bn=n+1,求a4;(Ⅱ) 若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.x100=-a,S100=2b-a | B.x100=-b,S100=2b-a |
C.x100=-b,S100=b-a | D.x100=-a,S100=b-a |
(I)若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,试写出{an}的一个通项公式;
(II)若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,求数列{an}的前n项和Sn;
(III)对于(II)中的数列{an},若数列{bn}满足anbnbn+1=-21•28(n∈N*),且b4=-7.
求:①数列{bn}的通项公式;②当数列{bn}前n项的积最大时n的值.
n |
i=0 |
1 |
ai |
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