题目

题型：不详难度：来源：

.在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又2是a₃与a₅的等比中项．设b_n=5-log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

答案

（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又2为a₃与a₅的等比中项，∴a₃a₅=4．
而q∈（0，1），∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=

1

2

，a1=16，
∴通项公式 an=16×(

1

2

)n-1=25-n，b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴Sn=

n(n+1)

2

．
（2）

1

S

n=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．