题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}满足a1=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），则m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

的整数部分是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

答案

由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，
通过累加，得
m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

=

1

a1-1

-

1

a2010-1

=2-

1

a2010-1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，
即a_n+1≥a_n，
由a1=

3

2

，
得a2=

7

4

，
得a₃=

37

16

．
∴a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₂₀₀₈≥a₃＞2，
∴0＜

1

a2010-1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整数部分为1．
故选C．