题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0(n≥2，n∈N)，
(1)写出a₂，a₃的值(只写结果)并求出数列{a_n}的通项公式；
(2)设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+＞b_n恒成立，求实数t的取值范围。

答案

解：(1)因为a₁=2，(n≥2，n∈N)，
所以a₂=6，a₃=12；
当n≥2时，，…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
所以a_n-a₁=2[n+(n-1)+…+3+2]，
所以a_n=2[n+(n-1)+…+3+2+1]==n(n+1)；
当n=1时，a₁=2=1×(1+1)也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n(n+1)．
(2)



，
令(x≥1)，
则f′(x)，当x≥1时f′(x)＞0恒成立，
所以f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，
故当x=1时，f(x)_min=f(1)=3，
即当n=1时，，
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，
则需使，即t²-2mt＞0对恒成立，
所以，解得t＞2或t＜-2，
所以实数t的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞)。