题目

题型：安徽省高考真题难度：来源：

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后第年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^n-2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列。

答案

解：（1）我们有。
（2），对反复使用上述关系式，得
，
 ①
在①式两端同乘，得
②
②-①，得


即
如果记，，
则
其中是以为首项，以为公比的等比数列；
是以为首项，为公差的等差数列。