已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1=1，S2=2，且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n∈N*且n≥2），求该数列的通项公式。 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁=1，S₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n∈N*且n≥2），求该数列的通项公式。

答案

解：由S₁=1得a₁=1，
又由S₂=2可知a₂=1
∵S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n∈N*且n≥2），
∴S_n+1-S_n-2S_n+2S_n-1=0（n∈N*且n≥2），
即（S_n+1-S_n）-2（S_n-S_n-1）=0（n∈N*且n≥2），
∴a_n+1=2a_n（n∈N*且n≥2），
故数列{a_n}从第2项起是以2为公比的等比数列
∴数列{a_n}的通项公式为

，n∈N*。

核心考点

试题【已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1=1，S2=2，且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n∈N*且n≥2），求该数列的通项公式。】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

设数列{a_n}的首项a₁∈（0，1），a_n=

，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n

，证明b_n＜b_n+1，其中n为正整数。

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某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^a-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^a-2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列。

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在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），其中λ＞0，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(Ⅲ)证明存在k∈N*，使得

对任意n∈N*均成立。

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某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后第年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^n-2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列。

题型：安徽省高考真题难度：| 查看答案

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n(n∈N*)，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项a_n；
(Ⅱ)求数列{na_n}的前n项和T_n。

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