设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1-2an}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：四川难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2ⁿ，
（Ⅰ）求a₁，a₄
（Ⅱ）证明：{a_n+1-2aⁿ}是等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式．

答案

（Ⅰ）因为a₁=S₁，2a₁=S₁+2，所以a₁=2，S₁=2
由2a_n=S_n+2ⁿ知2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹
得a_n+1=s_n+2ⁿ⁺¹①
所以a₂=S₁+2²=2+2²=6，S₂=8a₃=S₂+2³=8+2³=16，S₂=24a₄=S₃+2⁴=40
（Ⅱ）由题设和①式知a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ
所以{a_n+1-2aⁿ}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）a_n=（a_n-2a_n-1）+2（a_n-1-2a_n-2）++2^n-2（a₂-2a₁）+2^n-1a₁=（n+1）•2^n-1

核心考点

试题【设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1-2an}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．】；主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

等比数列{a_n}中，a₄=4，则a₂•a₆等于______．

题型：惠州一模难度：| 查看答案

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=

．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=

xn-2

，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

题型：不详难度：| 查看答案

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=(

)x图象上．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设a_n=n（n为正整数），过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试求最小的实数t，使c_n≤t对一切正整数n恒成立；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试探究2008是否数列{S_n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．

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等比数列{a_n}中a_n＞0，且a₅•a₆=9，则log₃a₂+log₃a₉=______；

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已知椭圆

=1，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，

OP，AR成等比数列．

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