题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}和正项等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃+a₇=10，b₃=a₄
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

（1）依题意，{a_n}为等差数列设其公差为d；{b_n}为等比数列，设其公比为q，则可知q＞0
∵a₃+a₇=10
∴2a₅=10即a₅=5
又a₁=1
∴a₅-a₁=4d=4解得d=1
故a_n=a₁+（n-1）d=n
由已知b₃=a₄=4
∴q2=

b3

b1

=4即q=2
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1
∴a_n=n，b_n=2^n-1
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•2^n-1
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
∴2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ
两式相减得-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n×2n=(1-n)×2n-1
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1