题目
题型:安徽省高考真题难度:来源:
答案
设数列{an}的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立;
若d≠0,
则
;
再证充分性:(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立,
首先,在等式,①
两端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差数列,
记公差为d,则a2=a1+d,
假设ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时,观察如下二等式
,②
,③
将②代入③,得,
在该式两端同乘a1akak+1,得(k-1),
将ak=a1+(k-1)d代入其中,整理,得ak+1=a1+kd,
由数学归纳法原理知,对一切n∈N+,都有an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差为d的等差数列.
核心考点
举一反三
(1)若dk=2k,证明a2k,a2k+1,a2k+2成等比数列(k∈N*);
(2)若对任意k∈N*,a2k,a2k+1,a2k+2成等比数列,其公比为qk。
(i)设q1≠1,证明是等差数列;
(ii)若a2=2,证明。
(i)当n=4时,求的数值;
(ii)求n的所有可能值。
(2)求证:对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1,b2,…,bn,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)是否存在k∈N*,使ak-bk∈(0,)?若存在,求出k;若不存在,说明理由。
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