题目
题型:江苏高考真题难度:来源:
(i)当n=4时,求的数值;
(ii)求n的所有可能值。
(2)求证:对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1,b2,…,bn,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。
答案
一个等差数列中,若有连续三项成等比数列,则这个数列的公差d0=0
事实上,设这个数列中的连续三项a-d0,a,a+d0成等比数列,则a2=(a-d0)(a+d0),由此得d0=0
(1)(i)当n=4时,由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知,删去的项只可能为a2或a3
①若删去a2,则由a1,a3,a4成等比数列,得
因d≠0,故由上式得a2=-4d,即
此时数列为-4d,-3d,-2d,-d,满足题设;
②若删去a3,则由a1,a2,a4成等比数列,
得(a1+d)2=a1(a1+3d)
因d≠0故由上式得a1=d,即
此时数列为d,2d,3d,4d,满足题设
综上可知,的值为-4或1。
(ii)若n≥6,则从满足题设的数列a1,a2,…an中删去一项后得到的数列,必有原数列中的连续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“基本事实”知,数列a1,a2,…,an的公差必为0,这与题设矛盾
所以满足题设的数列的项数n≤5
又因题设n≥4,故n=4或5
当n=4时,由(i)中的讨论知存在满足题设的数列。
当n=5时,若存在满足题设的数列
则由“基本事实”知,删去的项只能是a3,从而
成等比数列
故
分别化简上述两个等式,得
,故d=0
矛盾。因此,不存在满足题设的项数为5的等差数列,综上可知,n只能为4。
(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d"的n项等差数列
其中三项成等比数列
这里
则有
化简得
由b1d"≠0知或同时为零,或均不为零
若
则有
即矛盾
因此都不为零
故由(*)得
因为均为非负整数,所以上式右边为有理数,从而是一个有理数
于是,对于任意的正整数n≥4,只要取为无理数,则相应的数列就是满足要求的数列,例如,取那么n项数列满足要求。
核心考点
试题【(1)设a1,a2,…,an是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列。(i)当n=4时,】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)是否存在k∈N*,使ak-bk∈(0,)?若存在,求出k;若不存在,说明理由。
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)设,求满足不等式的所有正整数n的值。
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