题目

题型：不详难度：来源：

若数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题：
（1）若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}也是递增数列；
（2）数列{S_n}是递增数列的充要条件是数列{a_n}的各项均为正数；
（3）若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则S₁•S₂…S_k=0的充要条件是a₁•a₂…a_k=0．
（4）若{a_n}是等比数列，则S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）的充要条件是a_n+a_n+1=0．
其中，正确命题的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案

数列{a_n}的前n项和为S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}不一定是递增数列，如当a_n＜0 时，数列{S_n}是递减数列，故（1）不正确．
由数列{S_n}是递增数列，不能推出数列{a_n}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，
满足{S_n}是递增数列，但不满足数列{a_n}的各项均为正数，故（2）不正确．
若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，例如数列：-3，-1，1，3，
满足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故（3）不正确．
若{a_n}是等比数列，则由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）可得数列的{a_n}公比为-1，故有a_n+a_n+1=0．
由a_n+a_n+1=0可得数列的{a_n}公比为-1，可得S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故（4）正确．
故选B．