题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)写出数列{bn}的前四项;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式,并给出证明;
(Ⅲ)是否存在非零常数p,q,使得数列{
an |
pn+q |
答案
由∴a1=1,a3=15.a4=28;
∴b1=2,b2=8,b3=18,b4=32
(Ⅱ)由(1)知b1=2×12,b2=2×22,b3=2×32,b4=2×42
.由此猜测bn=2n2.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时猜想显然成立;
②假设n=k(k≥2)猜想成立,即bk=2k2,则有ak=2k2-k,
根据题意,得(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1)=(k+1)(2k2-k-1),解出ak+1=(k+1)(2k+1),
于是bk+1=ak+1+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=2(k+1)2,
,即当n=k+1时猜想也成立.
综合①②得对于所有n∈N*都有bn=2n2
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,an=2n2-n,
假设存在非零常数p,q,使得数列{
an |
pn+q |
令cn=
an |
pn+q |
2n2-n |
pn+q |
从而
2n2-n |
pn+q |
化简得:2n2-n=dpn2+[dq+p(c1-d)]n+q(c1-d).
所以有
|
∵q≠0
∴c1=d∴dq=-1
∴
p |
q |
故存在满足关系p=-2q的非零常数p,q,使得数列{
an |
pn+q |
核心考点
试题【已知数列{an}满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1),a2=6,令bn=an+n(n∈N*)(Ⅰ)写出数列{bn}的前四项;(Ⅱ)求数列{bn}的】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 | ||
|
π |
4 |
Sn |
Tn |
An+1 |
2n+7 |
a3 |
b4+b6 |
a7 |
b2+b8 |
2 |
5 |
1 |
2 |
(1)求A;
(2)求数列{an}及{cn}的通项公式;
(3)若dn=
|
Sn |
Tn |
7n+45 |
n+3 |
an |
bn |
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