题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
在数列
（I）若是公比为β的等比数列，求α和β的值。
（II）若，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由。

答案

（1）或…
（2）故不存在使与有大于1的公约数.

解析

（I）是公比的的等比数列

…………2分
即
又
………………4分
、是方程的两根
或…………6分
（II）假设存在正整数，使得与有大于1的公约数，
则也是即的约数
依题设，
是的约数…………8分
从而是与的公约数
同理可得是的约数依次类推，是与的约数……10分
，故
于是       ………………12分
又∵
是的约数和的约数
是即的约数
从而是即1的约数，这与矛盾
故不存在使与有大于1的公约数.