题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=cos2x-

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(θ)=

5

6

，θ∈(

π

3

， 

2π

3

)，求sin2θ的值．

答案

（本题满分14分）
（Ⅰ）f(x)=cos2x-

3

sinxcosx+1
=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1=cos(2x+

π

3

)+

3

2

．         …（4分）
由2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，
得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）∵f(θ)=

5

6

，∴cos(2x+

π

3

)+

3

2

=

5

6

，cos(2θ+

π

3

)=-

2

3

．    …（8分）
∵θ∈(

π

3

，

2π

3

)，∴2θ+

π

3

∈(π，

5π

3

)，
sin(2θ+

π

3

)=-

1-cos2(2θ+ π 3 )

=-

5

3

． …（11分）
∴sin2θ=sin(2θ+

π

3

-

π

3

)=

1

2

sin(2θ+

π

3

)-

3

2

cos(2θ+

π

3

)=

2 3 - 5

6

．  …（14分）