题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

答案

解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，
令50x﹣115＞0，
解得x＞2.3．
∵x∈N*，
∴x≥3，
∴3≤x≤6，x∈N*，
当x＞6时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115．
令[50﹣3（x﹣6）]x﹣115＞0，有3x²﹣68x+115＜0，
上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N*），
∴6＜x≤20（x∈N*）．
故y=，
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
（2）对于y=50x﹣115（3≤x≤6，x∈N*）．
显然当x=6时，y_max=185（元），
对于y=﹣3x²+68x﹣115=﹣3 +（6＜x≤20，x∈N*）．
当x=11时，y_max=270（元）．
∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．