题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

已知f（x）=x|x|+px+q，下列命题中正确的是______．
①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；
②f（x）图象关于（0，q）对称；
③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；
④方程f（x）=0的解的个数为小于或等于2．

答案

①当f（x）为奇函数是f（0）=0，∴q=0；当q=0时，f（-x）=-x|-x|-px=-（x|x|+px）=-f（x），∴①正确．
 ②∵f（-x）+f（x）=-x|-x|-px+q+x|x|+px+q=2q，∴f（x）图象关于（0，q）对称，∴②正确；
③当p=0时，方程f（x）=0 为x|x|+q=0，无论q取何值，此方程一定有解，故③正确；
④p=-2，q=1，f（x）=

x2-2x+1，x≥0 -x2-2x+1，x＜0

，方程f（x）=0的解的个数为3个，∴④不正确
故答案为①②③