题目
题型:解答题难度:一般来源:湖北模拟
(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;
(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.
答案
又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数.
必要性:若f(x)为奇函数,∵x∈R,
∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|
由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.
∴f(x)为奇函数,则m=n=0,即m2+n2=0.
∴m2+n2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
(Ⅱ)若x=0时,m∈R,f(x)<0恒成立;
若x∈(0,1]时,原不等式可变形为|x+m|<-
n |
x |
n |
x |
n |
x |
∴只需对x∈(0,1],满足
|
对①式f1(x)=-x+
4 |
x |
∴m<f1(1)=3.③
对②式,设f&2(x)=-x-
4 |
x |
∴f2(x)max=f(1).
∴m>f2(1)=-5.④
由③④知-5<m<3.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
3x-1 |
3x+1 |
(1)判断该函数的奇偶性;
(2)证明函数在定义域上是增函数.
①g(x)=f(x)+f(-x);
②h(x)=f(x)-f(-x);
③y=
1-x2 |
x4 |
④F(x)=p(x)q(x),其中p(x)、q(x)均是奇函数.
1 |
2|x| |
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[2,3]恒成立,求实数m的取值范围.
2 |
2x+1 |
(1)证明函数f(x)的奇偶性;
(2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数.
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