题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

答案

（1）由函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，
所以b=0，则f（x）=ax³+3cx，f′（x）=3ax²+3c．
又当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，
所以

3a+3c=0 a+3c=- 2 3

，解得a=

1

3

，c=-

1

3

．
所以a=

1

3

，b=0，c=-

1

3

；
（2）由（1）得f（x）=

1

3

x3-xf′（x）=x²-1
设x₁，x₂∈[-1，1]
若存在两点x₁，x₂，使得在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)f′(x2)=-1
即(x1x2)2-(x12+x22)+2=0．
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以(x1x2)2-(x12+x22)+2＞0．
所以不存在两点的切线互相垂直．