由递推关系求通项

　　类型1 递推公式为

　　解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。

　　例1. 已知数列满足，求。

　　解：由条件知：

　　分别令，代入上式得个等式累加之，即　　

　　所以

　　又因为

　　所以

　　类型2 递推公式为

    解法：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。

　　例2. 已知数列满足，求。

　　解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

　　所以

  　又因为，所以。

　　类型3 递推公式为​(其中p，q均为常数，)。

　　解法：把原递推公式转化为：

　　其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

　　例3. 已知数列中，，求。

　　解：设递推公式

　　可以转化为

　　即，所以

　　故递推公式为

　　令，则，且

　　所以是以为首项，2为公比的等比数列，则

　　所以

　　类型4 递推公式为(其中p，q均为常数，)。

　　解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

　　引入辅助数列(其中)，得：

　　再应用类型3的方法解决。

　　例4. 已知数列中，，求。

　　解：在两边乘以得：　　

　　令，则

　　应用例3解法得：

　　所以

　　类型5 递推公式为(其中p，q均为常数)。

　　解法：先把原递推公式转化为

　　其中s，t满足，再应用前面类型的方法求解。

　　例5. 已知数列中，，求。

　　解：由可转化为

　　即

　　所以

　　解得：或

　　这里不妨选用(当然也可选用，大家可以试一试)，则

　　所以是以首项为，公比为的等比数列

　　所以

　　应用类型1的方法，令，代入上式得个等式累加之，即

　　又因为，所以。

　　类型6 递推公式为与的关系式。

　　解法：利用进行求解。

　　例6. 已知数列前n项和。

　　(1)求与的关系;

　　(2)求通项公式。

　　解：(1)由得：

　　于是

　　所以

　　即

　　(2)应用类型4的方法，上式两边同乘以得：　　

　　由，得：

　　于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

　　故

　　类型7 双数列型

　　解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

　　例7. 已知数列中，;数列中，。当时，，求。

　　解：因

　　所以

　　即

　　又因为　　

　　所以

　　即

　　由<1>、<2>得：