题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x+sinx |
x |
(Ⅰ) 判断f(x)在区间(0,π)上的增减性并证明之;
(Ⅱ) 若不等式0≤a≤
x-3 |
4-x |
(Ⅲ)设0≤x≤π,且a∈M,求证:(2a-1)sinx+(1-a)sin(1-a)x≥0.
答案
sinx |
x |
xcosx-sinx |
x2 |
设g(x)=xcos x-sin x,x∈(0,π),则g′(x)=-xsin x<0(∵x∈(0,π)).
∴g(x)在(0,π)上为减函数,又∵g(0)=0,
∴x∈(0,π)时,g(x)<0,
∴f′(x)=
g(x) |
x2 |
∴f(x)在(0,π)上是减函数.(6分)
(Ⅱ)∵(
x-3 |
4-x |
(x-3)(4-x) |
∴x=3或4时,(
x-3 |
4-x |
∴(
x-3 |
4-x |
又0≤a≤
x-3 |
4-x |
∴0≤a≤1.
(Ⅲ)证明:显然当a=0,1或x=0,π时,不等式成立.
当0<a<1且0<x<π,原不等式等价于(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a)sin x.(10分)
下面证明一个更强的不等式:(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a+a2)sin x=(1-a)2sin x ①
即sin(1-a)x≥(1-a)sin x. ②
亦即
sin(1-a)x |
(1-a)x |
sinx |
x |
由(1)知
sinx |
x |
又∵(1-a)x<x,∴
sin(1-a)x |
(1-a)x |
sinx |
x |
∴不等式②成立,从而①成立.
又∵(1-2a+a2)sin x>(1-2a)sin x,∴(1-a)sin(1-a)x>(1-2a)sin x.
综上,∴0≤x≤π且0≤a≤1时,原不等式成立.(14分)
核心考点
试题【设函数f(x)=x+sinxx.(Ⅰ) 判断f(x)在区间(0,π)上的增减性并证明之;(Ⅱ) 若不等式0≤a≤x-3+4-x对x∈[3,4]恒成立,求实数a的】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
①f(5)=0;
②f(x)在[1.2]上是减函数;
③f(x)的图象关于直线x=1对称;
④函数y=f(x)在x=0处取得最大值;
⑤函数y=f(x)没有最小值(x∈R).
其中正确论断的序号是( )
A.①③④ | B.②④⑤ | C.①②④ | D.③④⑤ |
(1)求a的值;
(2)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]及λ所在的取值范围上恒成立,求t的取值范围;
(3)讨论关于x的方程
lnx |
f(x) |
πx |
2 |
5-3x |
x+2 |
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