题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[

1

e

-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

答案

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′(x)=2x+2-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
∴f（x）_min=f（0）=0
又∵f(

1

e

-1)=

1

e2

+1，f（e-1）=e²-3，且e2-3＞

1

e2

+1，
∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）_max=e²-3．
∵不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立，
∴

-m2+2m+e2≥f(x)max m＜f(x)min

，
即

-m2+2m+e2≥e2-3 m＜0

⇒

m2-2m-3≤0 m＜0

⇒

-1≤m≤3 m＜0

⇒-1≤m＜0
∵m是整数，∴m=-1．
∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立．
（Ⅲ）由f（x）=x²+x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2]
令g（x）=x-a-2ln（1+x），则g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，x∈[0，2]
由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点，
∴

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

⇒

-a≥0 1-a-2ln2＜0 2-a-2ln3≥0

⇒

a≤0 a＞1-2ln2 a≤2-2ln3

⇒1-2ln2＜a≤2-2ln3，
∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3