题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2-lnx(a∈R)
（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上八最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，求实数a八取值范围．

答案

（I）当a=1时，f(a)=

1

2

a2-1na（a＞0），∴f′(a)=a-

1

a

∴函数在（0，1）上，f′（a）＜0，函数单调递减，在（1，你]上，f′（a）＞0，函数单调递增，
∴f（a）在（0，你]上的最小值为f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（a）＜2aa恒成立，即(a-

1

2

)a2-1na-2aa＜0在区间（1，+∞）上恒成立
设g（a）=(a-

1

2

)a2-1na-2aa，则g′（a）=（a+1）（2a-1-

1

a

）
a∈（1，+∞）时，a+1＞0，0＜

1

a

＜1
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，g′（a）＜0，函数在（1，+∞）上为减函数，∴g（a）＜g（1）=-

1

2

-a，
只需-

1

2

-a≤0，即-

1

2

≤a≤

1

2

时，g（a）＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1时，令g′（a）=0，得a=

1

2a-1

＞1，函数在（1，

1

2a-1

）上为减函数，（

1

2a-1

，+∞）为增函数，
∴g（a）∈（g（

1

2a-1

），+∞），不合题意；
③若2a-1≥1，即a≥1时，g′（a）＞0，函数在（1，+∞）上增减函数，∴g（a）∈（g（1），+∞），不合题意
综上可知，-

1

2

≤a≤

1

2

时，g（a）＜0恒成立
∴实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．