题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-1，3），（0，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若∀x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，求t的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意，设f（x）=ax（x-2）
将（-1，3）代入，可得a=1
∴f（x）=x（x-2）
（Ⅱ）要使∀x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，只需要3t-t²-3≤f（x）_min，且f（x）_max≤12-t²即可．
∵f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1，x∈[0，3]，
∴x=1时，f（x）_min=-1，x=3时，f（x）_max=3
∴3t-t²-3≤-1，且3≤12-t²
∴

t≥2，或t≤1 -3≤t≤3

∴-3≤t≤1或2≤t≤3．