已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R)．（I）求g（x）的表达 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+

(m∈R)．
（I）求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

答案

解（I）设g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由题意令x=1得0≤g（1）≤0∴g（1）=0，
∴

a+b+c=0

a-b+c=0

得b=0，a+c=0，
∵x-1≤g（x）≤x²-x对∀x∈R恒成立，
∴ax²-a≥x-1和ax²-a≤x²-x恒成立，
得a=

，
∴g(x)=

x2-

．

（II）f(x)=g(x)+mlnx+

(m∈R，x＞0)=

x2+mlnx，
f′(x)=x+

当m＞0时，f（x）的值域为R
当m=0时，f(x)=

x2＞0对∀x＞0，f(x)＞0恒成立
当m＜0时，令f′(x)=0⇒x=

-m

核心考点

试题【已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R)．（I）求g（x）的表达】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

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(0，

-m

)

-m

(

-m

，+∞)

f"（x）

f（x）

↘

极小

↗

下列函数中，是奇函数的是（　　）

A．y=-sin2x

B．y=-cos2x

C．y=x²+1

D．y=x³+1

已知函数f(x)=

+a，g(x)=x+2a

(a＞0)，
（1）当a=1时，求|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值；
（2）|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．

已知f(x)=

1-x2

|x+2|-2

•lg(

1+x2

-x)的奇偶性是______．

已知奇函数f(x)=

x2-2x+2 (x＜0)

ax2+bx+c (x＞0)

(a，b，c∈R)，则a+b+c的值是（　　）

A．-5

B．5

C．1

D．-1

函数f（x）=|x|+x²是（　　）

A．奇函数	B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数	D．非奇非偶函数