题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+(y－4)²=1的圆心为点M

(1)求点M到抛物线C₁的准线的距离；
(2)已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

答案

(1)
(2)见解析；

解析

(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y=－所以圆心M（0，4）到准线的距离是
(2) 设P(x₀，x₀²)，A(x₁，x₁²)，B(x₂，x₂²)，
则由题意得x₀≠0，x₀≠±1，x₁≠x₂，
设过点P的圆C₂的切线方程为y－x₀²=k(x－x₀)，
即kx－y－kx₀ +x₀²=0          ①
则=1( x₀²－1)k²+2 x₀(4－x₀²)k+( x₀²－4)²－1=0，
设PA，PB的斜率为k₁，k₂(k₁≠k₂)，则k₁，k₂是上述方程的两根，所以
k₁+k₂= ，k₁·k₂=
将①代入x²=y得x² –kx+kx₀－x₀²=0由于x₀是此方程的根，点A或B是过点P作圆C₂的两条切线与抛物线C₁相交的交点
故，x₀+x₁=k₁，x₀+x₂=k₂ x₁=k₁－x₀，x₂=k₂－ x₀
所以k_AB= = x₁+x₂= k₁+k₂－2x₀=－2x₀
又K_MP=
∵MP⊥AB
∴k_AB·K_MP=[－2x₀]·（）=－1，
·=－1，解
∴即点P的坐标为（±，），K_MP==
所以直线l的方程为y=±x+4