题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x³（t为常数）
（1）求f（x）的表达式；
（2）当0＜t≤6时，用定义证明f（x）在[-

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，

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]上单调递增；
（3）当t＞6时，是否存在t使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上．若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

答案

（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，
∴f（-x）=-2tx+4x³，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=2tx-4x³，
∴f（x）的表达式为：f（x）=

2tx-4x 3，x∈(0，1] 0．x=0 2tx-4x 3，x∈[-1，0)

．
（2）先设x₁、x₂∈[0，

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]，令x₁＜x₂，则有x₁-x₂＜0．
f（x₁）-f（x₂）=2tx₁-4x₁³-（2tx₂-4x₂³）
=2t（x₁-x₂）-4（x₁³-x₂³）=（x₁-x₂）[2t+4（x₁²+x₂x₁+x₂²）]
∵x₁、x₁∈[0，

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]，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在[0，

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]上单调递增．
（3）当t＞6时，

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＞1，由（2）得f（x）在[-1，1]上单调递增，
令f（1）=12，存在t=8，满足条件．