题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝(ax²＋x)e^x，其中e是自然数的底数，a∈R.
(1)当a<0时，解不等式f(x)>0；
(2)若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围；
(3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．

答案

（1）（2）（3）{－3，1}

解析

(1)因为e^x>0，所以不等式f(x)>0即为ax²＋x>0.
又a<0，所以不等式可化为x <0，所以不等式f(x)>0的解集为.
(2)f′(x)＝(2ax＋1)e^x＋(ax²＋x)e^x＝[ax²＋(2a＋1)x＋1]e^x，
①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)e^x，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；
②当a≠0时，令g(x)＝ax²＋(2a＋1)x＋1，因为Δ＝(2a＋1)²－4a＝4a²＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x₁、x₂，不妨设x₁>x₂，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x₁>0>x₂，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，因为g(0)＝1>0，必须满足即所以－≤a≤0.综上可知，a的取值范围是.
(3)当a＝0时，方程即为xe^x＝x＋2，由于e^x>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于e^x－－1＝0.
令h(x)＝e^x－－1，因为h′(x)＝e^x＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－2>0，h(－3)＝e^－3－<0，h(－2)＝e^－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k的所有值为{－3，1}