题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝ax²－|x|＋2a－1(a为实常数)．
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
(3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）

（2）g(a)＝（3）

解析

(1)当a＝1时，f(x)＝x²－|x|＋1＝作图如下．

(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax²－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.
若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1.
当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝
(3)当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋－1，在区间[1，2]上任取x₁、x₂，且x₁<x₂，
则h(x₂)－h(x₁)＝
＝(x₂－x₁)＝(x₂－x₁).
因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x₂)－h(x₁)>0.
因为x₂－x₁>0，x₁x₂>0，所以ax₁x₂－(2a－1)>0，
即ax₁x₂>2a－1.
当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．
当a>0时，x₁x₂>，由1<x₁x₂<4，得≤1，解得0＜a≤1.
当a<0时，x₁x₂<，由1<x₁x₂<4，得≥4，解得－≤a＜0.
所以实数a的取值范围为