题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;
(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:<0.
答案
解析
f′(x)=-2ax+(2-a)=-.
①若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②若a>0,则由f′(x)=0得x=,且当x∈时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上是减函数.
(2)解:设函数g(x)=f-f,
则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
g′(x)=-2a=.
当0<x<时,g′(x)>0,而g(0)=0,所以g(x)>0.
故当0<x<时,f>f.
(3)证明:由(1)可得,当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点,
故a>0,从而f(x)的最大值为f,且f>0.
不妨设A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则0<x1<<x2.
由(2)得f=f>f(x1)=0.
从而x2>-x1,于是x0=>.由(1)知,f′(x0)<0
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;(3)若函数y=】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A.y=cosx | B.y=-|x-1| | C.y=ln | D.y=ex+e-x |
(1)验证函数是否满足这些条件;
(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明;
(3)若,求方程的解。
A. | B. |
C. | D. |
①函数一定是偶函数; ②函数可能是奇函数;
③函数在单调递增; ④若是偶函数,其值域为
其中正确的序号为_______________.(把所有正确的序号都填上)
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