题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

答案

（1）由函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）（a＞0，a≠1），可得

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为 （-1，1）．
（2）由于函数f（x）=log_a（1-x²），且定义域关于原点对称、满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数．
①当a＞1时，设x₂＞x₁＞0，则 x22＞x12＞0，故 0＜1-x22＜1-x12，故log_a（1-x22）＜log_a（1-x12），
即f（x₂）＜f（x₁），故函数在（0，1）上是减函数．
再由偶函数的图象关于原点对称，可得函数在（-1，0）上是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，函数在（-1，0）上是减函数，函数在（0，1）上是增函数．