题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0．

答案

（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：f(x)=

x

1+x2

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 21

-

x2

1+ x 22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-1）+f（t）＜0即为f（t²-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t²-1）＜f（-t）即为t²-1＜-t，解之得：-

1+ 5

2

＜t＜

-1+ 5

2

…①
又∵

-1＜t2-1＜1 -1＜t＜1

，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，

-1+ 5

2

)．
所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，

-1+ 5

2

)．