题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若，使成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（1，+∞）内恒在直线下方，求实数的取值范围．

答案

(1) (2) (3)∈[，]

解析

显然函数f(x)的定义域为………………1分
（Ⅰ）当时，，；……………2分
由，结合定义域解得…………3分
∴的单调递增区间为，.……………………………4分
（Ⅱ）将化简得，∴有
令，则，由解得.…………6分
当时，；当时，
故
∴，使成立等价于
即a的取值范围为……………………………8分
（Ⅲ）令，则的定义域为（0，+∞）.
……………………………………………9分
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于
在区间（1，+∞）上恒成立.  
∵
①若，令，得极值点，，………………11分
当，即时，在（，+∞)上有，
此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(，+∞)，不合题意；………………………………………12分
当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有
∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………13分
②若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………14分
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是[，].
综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方. 16分