题目

题型：云南省中考真题难度：来源：

已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点D的坐标为（-5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与轴交于点M，问：
（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P，若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F，请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由。
注：第（3）问请用备用图解答

答案

解：（1）连结BO与AC交于点H，则当点P运动到点H时，
直线DP平分矩形OABC的面积，理由如下：
∵矩形是中心对称图形，且点H为矩形的对称中心，
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，
因为直线DP过矩形OABC的对称中心点H，
所以直线DP平分矩形OABC的面积，
由已知可得此时点的坐标为，
设直线的函数解析式为y=kx+b，
则有，解得，
所以，直线DP的函数解析式为：；
（2）存在点使得与相似，
如图，不妨设直线DP与y轴的正半轴交于点M（0，），
因为∠DOM=∠ABC，若△DOM与△ABC相似，
则有或，
当时，即，解得，
所以点M₁（0，）满足条件，
当时，即，解得，
所以点满足条件，
由对称性知，点也满足条件，
综上所述，满足使与相似的点有3个，
分别为、；
（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，
过点D分别作的切线DE、DF，点E、F是切点，
除P点外在直线AC上任取一点P₁，半径长为画圆，
过点D分别作的切线DE₁、DF₁，点E₁、F₁是切点，
在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD，
∴△DPE≌△DPF，
∴S_{四边形DEPF}=2S_△DPE=2×，
∴当DE取最小值时，S_{四边形DEPF}的值最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由点P₁的任意性知：DE是点与切点所连线段长的最小值，
在△ADP与△AOC中，∠DPA=∠AOC，∠DAP=∠CAO，
∴△ADP∽△AOC
∴，即，
∴，
∴，
∴S_{四边形DEPF}=，即S=。