题目

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。（10分）
①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF以其中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即⑴①②→③；⑵①③→②；⑶②③→①

小题1:试判断上述三个命题是否正确。
小题2:请证明你认为正确的命题

答案

①②→③（△AED≌△AFD→AE=AF→△AEG≌△AFG→
∠AGE=∠AGF=90°→AD⊥EF）

解析

解：（1）①②?③，正确；①③?②，错误，不符合三角形的判定；②③?①，正确．
（2）先证①②?③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE=∠DGF．
∴∠DGE=∠DGF=90°．
∴AD⊥EF．
再证②③?①．如图2，

设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE=1/2AD，OF=1/2AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，1/2AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF．
即AD平分∠BAC．