题目

题型：不详难度：来源：

如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：

小题1:AE＝CD．
小题2:若AC＝12cm，求BD的长

答案

小题1:在△ACE与△CBD中，
∴△ACE≌△CBD（AAS）
∴AE＝CD
小题2:∵BC＝AC＝12
又∵△ACE≌△CBD，∴EC＝BD＝BC
而BC＝12，∴BD＝6

解析

（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．
（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．
（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
∴△CDB≌△AEC（HL），
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．