题目

题型：不详难度：来源：

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．

求：（1）C点的坐标为          ；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）①求△HCR面积S与t的函数关系式；
②并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的值．

答案

（1）（4，1）；（2）t＝2或t＝3；（3）（3）①S＝－t²＋2t（0＜t≤4），S＝t²－2t（t＞4）；
②t＝4.5，S＝或t＝，S＝或t＝，S＝．

解析

试题分析：（1）作CQ⊥x轴，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，即有∠CBQ＝∠OAB，从而可以证得△AOB≌△BQC，即得CQ＝OB，BQ＝OA，再结合A（0，3），B（1，0）求解即可；
（2）由P是正方形的对称中心可求得点P的坐标，即可得到∠MOB、∠AON的度数，再根据路程、速度、时间的关系表示出OR、OH的长，即可得到RH∥y轴，即R、H的横坐标相同，根据平行线的性质可得∠DMR＝∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，从而可以求得结果；
（3）①由R速度为，H速度为1，且∠ROH＝45°可得tan∠ROH＝1，根据RH始终垂直于x轴可得RH＝OH＝t， 设△HCR的边RH的高为h，再分0＜t≤4与t＞4两种情况根据三角形的面积公式求解；
②以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：Ⅰ．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR；Ⅱ．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合；Ⅲ．当AC和BR是梯形的底时，根据梯形的性质及一次函数的性质求解即可．
（1）作CQ⊥x轴，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＝∠OAB，
∴△AOB≌△BQC，
∴CQ＝OB，BQ＝OA，
∵A（0，3），B（1，0），
∴BQ＝3，CQ＝1，
∴OQ＝4，
∴C（4，1）；
（2）∵P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB＝45°，
∴∠AON＝45°，
∵点R从O出发沿OM方向以个单位，每秒速度运动，运动时间为t，
∴OR＝t，OH＝t．
∴RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
∵AB∥CD，
∴∠DMR＝∠ANO，
若△ANO与△DMR相似，则∠MDR＝∠AON＝45°或∠DRM＝∠AON＝45°，
①当∠MDR＝45°时，R、P重合，∵R（2，2），∴t＝2；
②当∠DRM＝45°时，DR∥y轴，∵D（3，4），∴R（3，3），∴t＝3，
∴当t＝2或t＝3时，△ANO与△DMR相似；
（3）①∵R速度为，H速度为1，且∠ROH＝45°，
∴tan∠ROH＝1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH＝OH＝t， 
设△HCR的边RH的高为h，
∴h＝|4－t|．
∴S_△HCR＝h•t＝|－t²＋4t|，
∴S＝－t²＋2t（0＜t≤4）；S＝t²－2t（t＞4）；
②以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：
Ⅰ．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．
如图，延长AD，使其与OM相交于点R，

∴AD的斜率＝tan∠BAO＝，
∴直线AD为：y＝＋3．
∴R坐标为（4.5，4.5），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t＝4.5．S＝；
Ⅱ．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
∴CD的斜率＝－3，且直线CD过点C，
∴直线CD为：y－1＝－3•（x－4）
∴y＝－3x＋13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（，），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t＝．S＝
Ⅲ．当AC和BR是梯形的底时，设AC的解析式是y＝kx＋b，
则，解得，
则解析式是y＝－x＋4，
设BC的解析式是y＝－x＋c，
则－1＋c＝0，解得c＝1，
则函数的解析式是y＝－x＋1，
∴R坐标（，）
∴t＝，S＝．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．